经济学原理 · 习题课：约束优化与 KKT

习题课：约束优化与 KKT

来源：2026 秋第一次习题课讲义（21 页）。

凸集、凹凸函数与拟凹性

凸集包含任意两点之间的整条线段。凸函数满足，；凹函数不等号反向。

拟凹函数的上等值集为凸集，等价于中间点函数值不低于两端较小值。拟凹性表达偏好集合的凸性；效用的具体数字可以作严格递增变换，因此凹性与拟凹性应区分。

在正象限，拟凹但不凹。Cobb–Douglas 在正参数下保持拟凹；时为凹函数。

二次可微函数的 Hessian 半正定对应凸性，半负定对应凹性。二维对称矩阵半正定要求两个对角元素均非负且行列式非负；只检验一个对角元素和行列式，在该对角元素为 0 时不够。

等式约束的拉格朗日法

约束，取，驻点满足与原约束。几何上目标等值面的法向量与约束法向量平行。

多个等式约束用各自乘子求和；乘子随拉格朗日函数的符号约定变化。二阶条件看 Hessian 在约束切空间上的 二次型，不必要求整个空间正定或负定。

例：单位圆上最大化。由，得到。比较目标值分别为，即可确定最大与最小。

不等式约束与 KKT

以下统一为最小化、约束，拉格朗日函数

四组条件为：驻点；原始可行；对偶可行；互补松弛。

未活跃约束对应乘子 0；活跃约束的乘子可以为 0 或正。正则性使局部最优满足 KKT；凸目标、凸不等式与仿射等式构成的凸问题中，满足 KKT 的点是全局最优。

例：最小化，约束。取，驻点给出。导致不可行点；活跃约束给出，最小值为。

罚函数与障碍函数

二次罚函数在原目标上加上，增大时逐渐压低违反量。对约束，最小化得，从不满足约束的一侧趋近。

对的严格内部，对数障碍为。逐渐减小时，内部解逼近约束最优。对的平方和例题，，从可行内部趋近。

讲义的消费选择综合例

，预算，额外要求。设

在额外约束严格不活跃时，效用递增使预算用尽；等边际条件得到

将结果代回检查，便确认该分支。若乘积约束活跃，则联立预算与另解。

以最大化问题的拉格朗日函数计，，表示收入增加一单位的最优效用增量。

在讲义不活跃分支，预算二次罚项系数为时，；预算对数障碍参数为时，。两者误差分别按与缩小。