信息学中的概率统计 · 第 6 讲：连续随机变量与分布

信息学中的概率统计
第六讲

2026年10月9日 笔记

1. 分布函数

给定随机变量，定义

称为的分布函数，也称累积分布函数。分布函数同时适用于离散随机变量、连续随机变量和混合型随机变量。

分布函数记录了随机变量落在半直线内的概率。知道以后，可以计算任意区间上的概率，因此它完整确定了的分布。

1.1. 基本例子

1.1.1. 例：圆盘内随机点到圆心的距离

在半径为的圆盘内均匀随机取一点，令为该点到圆心的距离。对于，事件表示随机点落在半径为的同心圆盘内，因此

完整写成

1.1.2. 例：区间上的均匀分布

若在上均匀取值，则

1.1.3. 例：几何分布

若，即

则对整数，

由于只取正整数值，分布函数为阶梯函数：

1.2. 分布函数的性质

任意分布函数都满足以下性质。

• 有界性：

• 两端极限：
• 单调不减：若，则。

• 右连续：对任意，

单调性的证明：若，则事件包含在事件中。由概率的单调性，

右连续性的证明：取单调下降到。事件

也单调下降，并且

由概率的上连续性，

反过来，任何满足以上四条性质的函数，都是某个随机变量的分布函数。

1.2.1. 例：判断候选分布函数

考虑

因为单调递增且连续，并且

所以单调递增、连续，且两端极限分别为。因此它是一个分布函数。

1.3. 用分布函数计算概率

定义左极限

于是

分布函数在处的跳跃高度正好等于。因此离散随机变量的分布函数通常有跳跃，而连续随机变量在任意单点上的概率为，其分布函数连续。

2. 连续随机变量与概率密度

如果存在非负函数，使得

则称为连续随机变量，称为的概率密度函数。

这里的“连续”指分布可以由密度积分表示。密度本身不是概率，它描述单位长度附近的概率强度。

2.1. 概率密度的性质

概率密度满足

以及

若在处可导，则

更直观地，对于很小的，

2.2. 区间概率与单点概率

对，

因为单点集合的积分为，

所以对连续随机变量，区间端点是否包含不影响概率：

密度函数在有限个点上的取值也不影响积分，因此不会改变分布函数。

2.3. 基本例子

2.3.1. 圆盘距离的密度

前面得到

求导可得

距离越大，对应的圆环面积越大，所以密度随线性增加。

2.3.2. 区间上的均匀分布

它的分布函数为

2.3.3. 例：确定归一化常数

设

由密度的归一化条件，

所以

对应的分布函数为

这就是标准柯西分布的密度与分布函数。

3. 连续随机变量的数学期望与方差

3.1. 数学期望

若

则定义

绝对可积条件保证正、负两部分不会以的方式产生不确定结果。

3.1.1. 例：上的均匀分布

3.1.2. 例：柯西分布的期望不存在

标准柯西密度为

虽然被积函数是奇函数，但

因此不存在，不能仅凭对称性把它写成。

3.2. 随机变量函数的期望

若，并且相应积分存在，则

这条公式不要求先求的密度。

3.2.1. 例：均匀分布的二阶矩

若在上均匀分布，则

3.3. 期望的性质

只要相应期望存在，就有

• ；
• ；
• ；
• 若，则。

期望的线性性由积分的线性性直接得到。例如

3.4. 随机变量会在期望两侧取值

如果有限，并且不以概率等于常数，则

证明第一式：假设，则几乎处处。又因为不是常数，所以存在使得

于是

矛盾。另一式同理。

3.5. 马尔可夫不等式

若为非负随机变量，则对任意，

令，可写成

连续情形的证明：

两边除以即得结论。

3.6. 方差与标准差

定义

标准差为

常用计算公式为

对常数，

3.6.1. 例：上的均匀分布

由和，

因此

3.7. 切比雪夫不等式

若，则对任意，

证明：对非负随机变量

使用马尔可夫不等式：

4. 常用连续分布

4.1. 均匀分布

若随机变量只在区间上取值，并且密度为常数，则称服从上的均匀分布，记作

密度函数为

它的分布函数为

期望为

二阶矩为

所以

4.2. 标准正态分布

定义密度函数

服从此密度的随机变量称为标准正态随机变量，记作

标准正态密度具有以下性质：

• ，且；
• ，即关于轴对称；
• 最大值在处取得；
• 当时，。

归一化证明：令

则

改用极坐标，面积元为，所以

因为，所以，从而

由于是奇函数，

又因为，分部积分可得

所以

标准正态分布函数记为

由对称性，

常用概率为

切比雪夫不等式只给出

正态分布的精确尾概率比这个通用上界小得多。

4.3. 一般正态分布

对和，定义

称服从均值为、方差为的正态分布，记作

令

则。因此

并且

标准化证明：令，则。因此的密度为

4.3.1. 随机变量的标准化

对任意期望为、标准差为的随机变量，定义

由期望和方差的性质，

标准化只保证均值为、方差为，并不保证服从正态分布。

例如，若服从参数为的伯努利分布，即

则，。标准化后

因此

这个分布称为拉德马赫分布。它的均值为、方差为，但不是正态分布。

4.4. 指数分布

对，若随机变量的密度为

则称服从参数为的指数分布，记作

分布函数为

尾概率为

通过分部积分可以得到

4.4.1. 无记忆性

对，

证明：

已经等待了个时间单位，不会改变接下来还需等待多久的分布。

4.4.2. 与泊松过程的关系

令表示时间区间内设备发生故障的次数，并假设

令表示第一次故障发生的时间。事件等价于，所以

因此

更一般地，令表示第次故障发生的时间。事件等价于，因此

求导得到

这正是形状参数为、率参数为的伽玛分布。

4.5. 伽玛函数

对，定义

它满足递推关系

证明：分部积分，取、，则

特别地，

另有

因此对非负整数，

4.6. 伽玛分布

对，若的密度为

则称服从形状参数为、率参数为的伽玛分布，记作

4.6.1. 验证归一化

令，则，所以

4.6.2. 期望和方差

同理，

因此

4.6.3. 特殊情形

• 当时，就是。
• 当为正整数时，它描述泊松过程中第次事件的到达时间。

• 当时，得到自由度为的卡方分布：

  它的期望和方差为

• 当时，卡方密度为

5. 连续随机变量的函数

给定连续随机变量和函数，令

求的分布时，分布函数法通常最稳妥：先计算

再对求导得到。

5.1. 多个原像时概率相加

连续变量与离散变量有相同的基本思想：如果多个不同的映射到同一个，这些原像附近的概率都要计入在附近的概率。

5.1.1. 例：

若在上均匀分布，则

令。对于，有两个原像和，所以

因此。

5.1.2. 例：

仍设。令，则的取值范围为。由于区间长度扩大为原来的两倍，密度缩小为原来的一半：

密度不能像离散概率那样直接写成，还必须乘上尺度修正因子。

5.1.3. 例：

若，令。对，

求导得到