信息学中的概率统计 · 第 8 讲：联合连续分布与二维变换
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第八讲：多维连续随机变量
来源：2026.10.23 Part II，第 1 至 49 页。Part I 的多维离散部分已归入第七讲。
1. 联合分布函数
除有界、分别单调不减、分别右连续以及边界极限外，还要求任意矩形增量非负：
左边就是 。分别单调不能代替矩形增量非负条件。
边际分布函数为 ，。
2. 联合密度、支持域与边缘密度
若联合分布可写为
则 且全平面积分等于 1。区域 的概率为 。密度可大于 1，概率由积分给出。
积分上下限由支持域的横截面或纵截面决定。先画支持域，再确定固定一个变量时另一个变量的范围。
2.1. 指数型密度例题
在第一象限为正，其余为 0。归一化得到 ，边际分别为 、。
课件第 5 页此项写成 4/5，积分结果应为 3/5。
2.2. 三角形支持域
于 。区域面积为 1，已归一。边际密度为
横截面长度随位置改变，因此二维均匀分布的坐标不一定均匀。
3. 条件密度与独立性
当 ，条件密度为
它关于 积分为 1。连续变量的 ，条件密度通过局部区间的极限或联合密度比定义。
单位圆上均匀取点时，，。故给定 （）， 在 上均匀。
独立等价于联合分布函数分解 ；存在联合密度时等价于密度几乎处处可分解为边际密度之积。只看公式表面能否写成两个因子还不够，支持域也要一并纳入。
单位圆中的坐标不独立，因为给定 会改变 的可取区间。
3.1. 两台设备的竞争寿命
独立 、 分别服从参数 的指数分布：
最小寿命为参数 的指数分布。
4. 期望、条件期望与协方差
期望的线性性无需独立；独立时可把乘积的期望分解。独立 变量满足
条件期望 ，代入随机变量 后得到关于 的随机变量。重期望为 。
4.1. 指数变量决定均匀区间
，给定 后 ：
也可用全方差公式 验算。
4.2. 非独立密度的矩计算
于 。边际密度为 与 。
课件第 31 页二阶矩中的 7/8 应为 7/18，与所列方差相符。
5. 相关系数
方差均有限且为正时，
利用 ，对 的二次式判别式不大于 0，即得相关系数的界。
当且仅当 几乎处处成立且 ；符号与 相同。独立推出不相关，反向一般不成立。
反例：，，由奇函数积分得 ，但 完全由 决定。这个反例的联合分布集中在曲线上，不具有二维联合密度。
6. 和、极值与乘积的分布
6.1. 卷积
独立 的和 的密度为
推导从 的积分区域出发，对 求导。
独立正态相加仍为正态，均值与方差分别相加。独立且同率参数的伽玛分布相加，形状参数相加；特别地两个独立 之和密度为 （）。
6.2. 最大值与最小值
独立 ：
两个独立单位均匀变量的最大值密度为 ，最小值密度为 ，支持域均为 。
6.3. 二维变量变换
可逆变换 的反变换为 ，则
先写反变换，再求反变换雅可比绝对值，最后转换支持域。多分支映射需将各个反像的贡献相加。
若 独立且均为 ，，则 ，雅可比绝对值为 ，得到
所以 、 且独立。
求乘积令 ，有 、，雅可比绝对值为 ，故
支持域会限制积分范围，例如正随机变量只需积分 。