集合论与图论 · 函数的基本概念
集合论与图论
函数的基本概念 · 手写笔记补充
1. 函数、偏函数与全函数
补充来源：《集图笔记(1)》PDF 第 16 页。
单值关系称为函数：对任意 ，恰有一个 满足 ，记为 。空关系也是函数，称为空函数。
设 为集合。若 是函数且
则称 为从 到 的偏函数。若进一步 ，则称为从 到 的全函数，通常直接说“函数”，记为 。
是陪域，不要求每个元素都被取到。
从 到 的所有全函数组成的集合记为
所有偏函数组成的集合包含于 。
1.1. 有限函数的计数
若 、，每个输入有 种输出可选，故
每个输入还允许“未定义”一种选择，因此偏函数共有 个。
空集情形：从 到任意 恰有一个全函数，即空函数；若 ，则不存在 的全函数。当 时仍恰有一个函数，故这里的组合计数约定为 。
1.2. 从关系性质理解函数
单值性只约束同一输入的输出，单根性约束同一输出的输入。对全函数 ：
- 单射： 单根，即 。
- 满射：。
- 双射：同时单射且满射。
关系逆 总有定义；它是函数当且仅当 单射，而它是 的全函数当且仅当 双射。若 、，则
与本课先作用右侧关系的约定一致。
函数下的封闭性、后继与 Peano 系统见 Lesson10.typ。