信息学中的概率统计 · 第 2 讲：概率公理与条件概率
信息学中的概率统计
第二讲
2026年9月16日 笔记
1. 复习
概率的定义：
- 频率的定义：在足够多次试验之后，我们会认为一件事情发生的频率接近于这件事情的概率
古典概率模型：样本点数量是有限的，每个样本点发生的可能性是一样的
- 球与桶模型、随机图模型
- 几何概率模型：连续空间中度量样本空间的方法，例如一维空间中是长度，二维空间中是面积。某个事件的度量值与整个空间的度量值之比就是概率。
2. 几何概率模型的例子
- 在一根长度为1的木棍上随机选取两个点将这个棍子分成三段，求他们可以构成三角形的概率
解：设两个切点倒端点的距离分别是a和b，则三段长度可以写成
3. 概率公理化
将样本空间的那些子集看作事件？
- 对集合操作封闭
- 全部自己？
事件域：对于样本空间，事件的集合满足
- 若，则
- 若，则
为一个事件域，又称为代数
我的理解：事件域的作用就是，把所有我们希望讨论的事情给包住，也就是当我们讨论事件的时候，那必然就会涉及到这样的事件，所以这个事件也必须属于事件域。
概率：设为样本空间，为事件域，如果定义在上的函数满足以下三个公理：
- 对于任意
- 对于互不相容的事件，有
一些性质：（可以通过概率公理推导出来）
- 空集是事件：
- 有限可加性：对于互不相容的事件，有
- 补集：
- 单调性：如果，则
- 可减性：
- 加法公式：
- 一般加法公式:
- Union Bound:
这是一个非常强大的东西！
球与桶模型，使用Union Bound估计：
对比：
证明：对于任意正整数，存在一个个人组成的关系网络，使得对于任意个人，既非两两均认识，，也非两两均不认识。
考虑个人组成的随机图。事件为存在个人两两均认识，事件为存在个人两两均不认识。
4. 条件概率
对于概率空间事件满足，则事件发生的条件下事件发生的概率为
全概率公式等等，我这是在复读嘿嘿