集合论与图论 · 第 1 讲：集合基础与集合运算
集合论与图论
2026年9月8日 笔记
1. 集合与包含关系
补充来源：《集图笔记(1)》PDF 第 2—3 页。
集合的元素具有确定性、互异性和无序性。列举法写出元素，描述法用性质刻画元素：
本课自然数包含 ；正整数用 表示。
是指 ； 表示 且 。 集合相等由元素决定：
证明集合恒等式，通常分别证明两个包含关系，或逐元素展开成员资格。
空集没有元素，因此 对任意集合 成立。注意
1.1. 幂集与集族
若 ，则 ：每个元素各有“取或不取”两种选择。
集族是以集合为元素的集合。指标集族 则是由指标标记的集合，可有不同指标对应同一个集合。指标的重复不影响交、并运算。
2. 集合运算
固定全集 ，以下各集合均为 的子集。
对指标集族，
在固定全集 中，空指标并为 ，空指标交为 。脱离指定全集时，不把“所有集合之交”作为一个无条件定义的集合。
对集族 ，广义并 是属于其中至少一个集合的元素组成的集合；非空集族的广义交要求元素属于每个成员。 例如 ，则
2.1. 基本恒等式
- 幂等律：，。
- 交换律：，。
- 结合律：，交同理。
- 分配律：，。
- 吸收律：，。
- 单位与零元：，，，。
- 补集律：，，。
- 德摩根律：，。
差集可转化为交与补：。因此
证明第一式
任取 ， 当且仅当 、 且 ，也即 。
若 ，则 ；若两族非空，则 。参与并的集合越多，并集越大；参与交的集合越多，交集越小。
2.2. 有限集的容斥公式
对有限集 ，
一个属于恰好 个集合的元素在右侧被计数
故每个并集元素恰好计一次。