集合论与图论 · 第 2 讲：集合列的极限
集合论与图论
2026年9月15日 笔记
1. 复习
朴素集合论：
初级并运算、初级交运算。
集族：
中的元素也是集合，广义交运算、广义并运算（大并、大交）
集合列：
2. 集合列的极限问题
2.1. 数列的极限
等价定义：
若是一个单调递增（减）序列，则称的上确界（下确界）为其极限。
对一般，定义，则递减。定义，则递增。
2.2. 集合列的极限
递减集合列与递增集合列
若是集合列，类比数列极限，我们需要定义两个单调集合列：
定义
称为的上极限。
来理解一下这个概念：首先，我们考虑
表示的是所有从开始，在其之后的集合中出现的元素。
那么再把这些集合全部交在一起，意味着不管从多少开始取，这个元素都在之后出现过。我们称这样的集合为的上极限。
类似地，
称为的下极限。 下极限中的元素，满足从某一个开始，这个元素在之后所有的集合中都出现。
命题
若，则属于中无限个集合。
证明
假设仅仅在有限个集合中存在，不妨假设最后一个含有元素的集合是
那么有，这与已知条件矛盾，故假设不成立。
命题
若，则属于靠后的所有集合。
证明
若集合列收敛，则上下极限相等。
命题
是的并，那么
命题
上极限的补等于补的下极限，下极限的补等于补的上极限。
3. 集合的特征函数
设是全集，，定义：
note:（5）&（6）可以很容易用且运算、或运算表示。
4. 二元关系
有序对、有序三元组、有序元组
这一部分参考离散数学第二讲笔记。
笛卡尔积、卡斯基运算
题目：设
第三小问：计算
首先计算
那么此时的不是一个集族，为什么可以计算呢？
（矛盾点在于广义交只能针对集族进行运算，但是我认为不是集族）